Einleitung - Aufgabe von Leibnitz

In einem Brief an Christian Huygens schrieb Gottfried Willhelm Leibniz (1646-1716), dass es sehr merkwürdig sei,

dass sei, denn, obwohl es gar nicht gäbe, erhielte man bei der Rechnung doch ein "reales" Ergebnis, nämlich die .

Rechnung:

Was sind komplexe Zahlen?

Es gibt quadratische Gleichungen, die im Bereich der reellen Zahlen lösbar sind. Es gibt aber auch solche, die nicht lösbar sind, wie z.B. x² = -1 , denn Quadrate reeller Zahlen sind nie negativ.

Die Gleichung 4x = 7 besitzt z.B. keine ganzzahlige Lösung. Durch die Erweiterung von ganzen Zahlen auf Bruchzahlen wird sie lösbar. (x = 7/4).

Aus diesem Grund liegt die Frage nahe, ob reelle Zahlen nicht auch so erweitert werden können, dass alle quadratischen Gleichungen lösbar werden.

Leonhard Euler (1707 - 1783) war einer der ersten Mathematiker, der versuchte dieses Problem zu lösen.
Er führte eine neue Zahl i ein. Diese sollte die Lösung der Gleichung x² = -1 sein.  i wird als imaginäre Einheit bezeichnet.

Damit es in der Elektrotechnik nicht zu verwechslungen kommt wurde anstatt i die Zahl j eingeführt.

Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass auch Quadrate negativer Zahlen ( j² =-1 )berechnet werden können.

Das Problem j² = -1 ist zu lösen.

Wie würden wir bei j² = 4 vorgehen?  Einfach die Wurzel ziehen und schon erhalten wir für j das Ergebnis j = 2

Versuchen Sie einmal die Wurzel aus -4 zu ziehen! Das hat Ihr Taschenrechner nicht so gerne.

Eine komplexe Zahl setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Sie besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil.

Z = a + bj wobei a und b reele Zahlen sind und j die imaginäre Einheit ist.

j = die imaginäre Einheit

Auf die so dargestellten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei j² stets durch -1 ersetzt werden kann und umgekehrt. 

Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben.

Darstellungsarten:

1.) Komponentenform

Die Schreibweise z = a+bj wird als Komponentenform bezeichnet

Auf der imaginären Achse (y-Achse) wird der Imaginärteil und auf der reellen Achse (x-Achse) der Realteil einer komplexen Zahl aufgetragen.
Ähnlich einer Schatzkarte (gehe 4 Schritte nach rechts und 3 Schritte nach links) kommen Sie auf den Punkt Z.

 

Eine komplexe Zahl z = a+bj lässt sich in der Gaußschen Zahlenebene durch einen Punkt Z darstellen. Hierzu fasst man den Real- und den Imaginärteil der komplexen Zahl als kartesische Koordinaten des Punktes Z in der x,y-Ebene auf.

Beispiel:

Z = 3 + 4j

Hier tragen wir 3 auf der Realachse (x) und 4 auf der imaginären Achse (y) auf. Daraus resultierend erhalten wir den Punkt Z und durch Verbinden mit einem Pfeil (vom 0-Punkt nach Z) den Betrag von r.

Den Betrag von r können wir nun ganz einfach nach Pythagoras mit a² = b² + c² , in unserem Fall also r² = a² + b² berechnen.

und wir erhalten für r den Wert 5

Der Betrag von Z - also |Z| = r und das ist die Länge des Zeigers. (Nur die Länge, ohne Winkel)

 

 

2.) Trigonometrische Form (Polarform)

In der trigonometrischen Form stellen wir die Beziehung zwischen r und dem Winkel phi her. Somit kann man jede komplexe Zahl anhand ihres Betrages r und des Winkels phi bestimmen.

Denken wir wieder an unsere Schatzkarte (4 Schritte nach rechts und 3 nach links) so können wir auch sagen:
Gehe 5 Schritte in einem Winkel von z.B. 60° um an den Punkt Z zu gelangen.

Daraus ergibt sich für:

und

 

Für die Beziehung Z = a + bj ergibt sich nun

bzw.

Weiters lässt sich der Winkel phi auch über den Tangens berechnen. Die Formel lautet:

 

Beispiel 1:

r = 5,656
phi = 45°

Ges: Z

Z = 4 + 4j

 

Beispiel 2:

a = 4
b = 4

Ges: phi, r, Z

 
= arctan (1) = 45°

daraus folgt

 

r = 5,656

Z = (5,656, 45°)

3.) Eulersche Form

Die Eulersche Formel ist ein äusserst wichtiges Ergebnis der Mathematik. Sie lautet: 

Daraus ergibt sich