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Grundlagen der komplexen Zahlenrechnung

1. Komplexe Widerstände

Man unterscheidet:

  • den Wirkwiderstand (R) = ohmscher Widerstand oder Resistanz in Ω
  • den Blindwiderstand (X) = Reaktanz in Ω
  • den Scheinwiderstand (Z) = Impedanz in Ω

Der Wirkwiderstand wird auf der realen Achse (X-Achse) der Gaußschen Zahlenebene und der Blindwiderstand auf der imaginären Achse (Y-Achse) aufgetragen.
Die daraus resultierende Größe ist der Scheinwiderstand Z. Der Scheinwiderstand Z ist die geometrische Addition aus einer Wirk- und Blindkomponente.

Z = R + jX

 

entsprechend dem Ohmschen Gesetz, berechnen sich die Leitwerte.

G...Wirkleitwert (Konduktanz) in S

B...Blindleitwert (Suszeptanz) in S

Y...Scheinleitwert (Admittanz) in S

 


Wechselstromverhalten eines ohmschen Widerstandes:

1. KEINE Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung

2. R ist eine reine Resistanz

3. R nimmt nur Wirkleistung (P in W) auf 

4. R speichert keine Energie

5. R ist von der Frequenz unabhängig

 

Z = R + jX  -->  Z = R

 

U und I sind in Phase, daher werden beide auf der realen Achse aufgetragen.

In der Wechselstromtechnik verwendet man für U und I die Kleinschreibweise u und i.

Keine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ( φ = 0° )

 


Wechselstromverhalten einer Induktivität:

 

1. Phasenverschiebung = 90° --> der Strom eilt der Spannung um 90° nach
    (Eselsbrücke: Induktivität Strom kommt zu spät)

2. L ist eine reine Reaktanz d.h. nur Blindwiderstand

3. L nimmt nur Blindleistung ( Q in var ) auf

4. L speichert Energie (magnetisches Feld)

5. X ist von der Frequenz abhängig

 

XL = ωL  --> die Kreisfrequenz ω = 2·PI·f

Z = R + jX  -->  Z = X --> Z = jωL 

 

u und i sind um 90° phasenverschoben.
Da der Strom der Spannung um 90° nachläuft, wird der Strom auf der um 90° verschobenen, imaginären Achse aufgetragen.

Z = jωL 

 


Wechselstromverhalten einer Kapazität:

 

1. Phasenverschiebung = 90° --> Strom eilt der Spannung um 90° vor
    (Eselsbrücke: Kondensator Strom eilt vor)

2. C ist eine reine Reaktanz

3. C nimmt nur Blindleistung auf

4. C speichert Energie (elektrisches Feld)

5. X ist von der Frequenz abhängig

 

Der Scheinwiderstand Xc berechnet sich aus:

 

Die Impedanz Z: 


Ein Kondensator (idealer Kondensator) liegt an einer Spannung von 230V / 50Hz.

Gesucht ist die Kapazität des Kondensators.

Geg: U=230V / 50Hz, I = 0,21A

Ges: C = ?

 

Aus dem ohmschen Gesetz leiten wir aus U = R · I den Blindwiderstand Xc ab.

U = Xc · I

daraus folgt:

 


Eine Induktivität L = 0,2H liegt an einer Spannung von 100V / 50Hz.

Gesucht ist der Blindwiderstand XL und der Strom IL.

 

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